a: Xét tứ giác BDHF có

góc BDH+góc BFH=180 độ

=>BDHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔHAF vuông tại F và ΔHCD vuông tại D có

góc AHF=góc CHD

=>ΔHAF đồng đạng với ΔHCD

=>HA/HC=HF/HD

=>HA*HD=HF*HC

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng vơi ΔHEC

=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE=HA*HD

d: Xét ΔAEF và ΔABC có

góc AEF=góc ABC

góc FAE chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

< Bạn tự vẽ hình nha>

a)Xét ΔABE và  ΔACF, ta có:

góc A: chung

góc F=góc E= 90^o

^Vậy  ΔABE ∼  ΔACF (g.g)

b)Xét  ΔHEC và  ΔHFB là:

góc H: chung

H₁=H₂(đối đỉnh)

Vậy  ΔHEC∼ ΔHFB (g.g)

⇒\(\dfrac{HE}{HF}\)=\(\dfrac{HC}{HB}\)⇔HE.HB=HF.HC

<Mình chỉ biết đến đó thôi>

c: góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AFHE nội tiếp

góc HDC+góc HEC=180 độ

=>HECD nội tiếp

góc HFB+góc HDB=180 độ

=>HFBD nội tiếp

góc FEH=góc BAD

góc DEH=góc FCB

góc BAD=góc FCB

=>góc FEH=góc DEH

=>EH là phân giác của góc FED(1)

góc EFH=góc DAC

góc DFC=góc EBC

góc DAC=góc EBC

=>góc EFH=góc DFH

=>FH là phân giác của góc DFE(2)

Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

e: Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có

góc EBA chung

=>ΔBFH đồng dạng với ΔBEA

=>BH*BE=BF*BA

Xet ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

góc FAH chung

=>ΔAFH đồng dạng với ΔADB

=>AH*AD=AF*AB

=>BH*BE+AH*AD=AB^2

Đề bài câu 4. thiếu kìa. Nếu MN? 

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC và ΔAEF có

\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔAEF(c-g-c)

Ta có: ΔEAH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)

mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)

 nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)

Ta có: ΔEBC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB

=>ΔOEB cân tại O

=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)

Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)

\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)

=>ΔIEO vuông tại E

Ta có: ΔAFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH

=>FI=IE

=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)

Ta có: ΔBFC vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)

mà EO=BC/2

nên FO=EO

=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF

=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE

Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao

nên \(IK\cdot IO=IE^2\)

=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)

=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)